คณิตวิเคราะห์: แคลคูลัสเชิงพื้นฐาน (ฉบับที่ 7): จากรายการไปสู่ลิมิต: พื้นฐานของลำดับ

จินตนาการถึงจักรวาลเป็นเหมือนชุดภาพถ่ายต่อเนื่องกัน ลำดับ ลำดับ คือสิ่งนั้นโดยตรง: รายการจำนวนจริงที่เรียงลำดับกัน โดยตำแหน่ง (ดัชนี $n$) กำหนดค่า แตกต่างจากเซต ลำดับและความซ้ำซ้อนคือหัวใจสำคัญของโครงสร้างนี้

1. นิยามอย่างเข้มงวด

ลำดับ $\{a_n\}$ สามารถมองได้ว่าเป็นรายการ: $a_1, a_2, a_3, \dots, a_n, \dots$ อย่างเป็นทางการมากขึ้น มันคือฟังก์ชันที่โดเมนคือชุดของจำนวนเต็มบวก

นิยาม 1 (แบบไม่เป็นทางการ)

ลำดับมีลิมิต $L$ (เขียนว่า $\lim_{n \to \infty} a_n = L$) ถ้าเราสามารถทำให้พจน์ $a_n$ เข้าใกล้ $L$ ได้เท่าที่ต้องการ โดยการเลือก $n$ ให้ใหญ่เพียงพอ

นิยาม 2 (แบบเป็นทางการ ε-N)

$\lim_{n \to \infty} a_n = L$ หากสำหรับทุก $\varepsilon > 0$ มีจำนวนเต็ม $N$ ที่สอดคล้องกัน ซึ่งหาก $n > N$ แล้วจะได้ $|a_n - L| < \varepsilon$

2. สะพานสู่แคลคูลัส: ทฤษฎีบทที่ 3

หนึ่งในเครื่องมือที่ทรงพลังที่สุดของเราคือความสามารถในการพิจารณาลำดับที่ไม่ต่อเนื่องเป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง ซึ่งทำให้เราสามารถใช้กฎของลูฮอปิทัลได้อย่างเต็มที่

หาก $\lim_{x \to \infty} f(x) = L$ และ $f(n) = a_n$ แล้ว $\lim_{n \to \infty} a_n = L$

ตัวอย่างที่แก้โจทย์

หาค่า $\lim_{n \to \infty} \frac{\ln n}{n}$

พิจารณา $f(x) = \frac{\ln x}{x}$ เมื่อ $x \to \infty$ เราจะได้รูปแบบไม่แน่นอน $\infty/\infty$ การใช้กฎของลูฮอปิทัล:

$\lim_{x \to \infty} \frac{1/x}{1} = 0$ ตามทฤษฎีบทที่ 3 ลำดับนี้ก็รวมตัวเข้าหา 0 เช่นกัน

3. ความละเอียดอ่อนของการเบี่ยงเบน

การเบี่ยงเบนไม่จำเป็นต้องหมายถึงการ 'พุ่งไปสู่อนันต์' เสมอไป ลำดับสามารถเบี่ยงเบนผ่าน การสั่นสะเทือน. พิจารณา $a_n = (-1)^n$ พจน์ต่าง ๆ จะกระโดดตลอดเวลาระหว่าง $-1$ กับ $1$ ไม่มีวันหยุดนิ่งที่ค่าใดค่าหนึ่ง

🎯 หลักการสำคัญ

การรวมตัวต้องการว่า สำหรับระยะทางเล็ก ๆ ε ที่เลือกไว้ ต้องมีจุดหนึ่งในลำดับ (N) หลังจากนั้น ทุกพจน์ พจน์ที่เหลือทั้งหมดจะถูกจำกัดอยู่ภายในระยะทางนั้นจากลิมิต L

ข้อความเสริมเชิงธีม: ในส่วนสุดท้ายของบทนี้ คุณจะถูกขอให้ใช้ลำดับเพื่อหาสูตรความเร็วของคลื่นทะเล

คำถามที่ 1

สูตรพจน์ทั่วไป $a_n$ สำหรับลำดับ $\{3/5, 4/25, 5/125, 6/625, 7/3125, \dots\}$ คืออะไร?

$a_n = (n+2)/5^n$

$a_n = (n+1)/5^n$

$a_n = (n+2)/5^{n-1}$

$a_n = 3n/5^n$

คำถามที่ 2

ข้อความใดที่อธิบายการรวมตัวของ $a_n = 1 - (0.2)^n$ ได้อย่างถูกต้อง?

มันรวมตัวเข้าหา 1 เพราะ $(0.2)^n \to 0$ เมื่อ $n \to \infty$

มันเบี่ยงเบนเพราะ $0.2 < 1$

มันรวมตัวเข้าหา 0

มันเบี่ยงเบนจากการสั่นสะเทือน

คำถามที่ 3

พจน์แรก $a_1$ ของลำดับ $a_n = 2n/(n^2 + 1)$ คือเท่าใด?

0.5

1.5

คำถามที่ 4

ตามทฤษฎีบทที่ 3 ทำไมเราจึงสามารถใช้กฎของลูฮอปิทัลกับลำดับได้?

เพราะหากฟังก์ชันต่อเนื่อง $f(x)$ มีลิมิต $L$ พจน์ตัวอย่างที่เป็นจำนวนเต็มของมันก็ต้องเข้าใกล้ $L$ เช่นกัน

เพราะลำดับทุกตัวสามารถหาอนุพันธ์ได้

เพราะลำดับเหมือนกับฟังก์ชันต่อเนื่อง

เพราะกฎของลูฮอปิทัลใช้กับดัชนีที่ไม่ต่อเนื่องเท่านั้น

คำถามที่ 5

ข้อใดเป็นสูตรที่ถูกต้องสำหรับ $\{1, 1/3, 1/5, 1/7, 1/9, \dots\}$ เริ่มจาก $n=1$?

$a_n = 1/(2n-1)$

$a_n = 1/(2n+1)$

$a_n = 1/n^2$

$a_n = 2/n$

ภารกิจการรวมตัวขั้นสูง

นำทฤษฎีบทพื้นฐานของลำดับมาประยุกต์ใช้แก้ปัญหาที่ซับซ้อนเหล่านี้ โปรดสังเกตว่าผลลัพธ์บางอย่างเกี่ยวข้องกับผลรวมของลำดับ ซึ่งนิยามว่าเป็นลิมิตของลำดับผลรวมย่อย

ภารกิจที่ 1

หาผลรวมของลำดับ $\sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{3}{n(n+1)} + \frac{1}{2^n} \right)$

วิธีแก้: แยกลำดับออกเป็นสองส่วน:
1. ส่วนแบบทีเลสโคปิก: $\sum \frac{3}{n(n+1)} = 3 \sum (\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1})$ ผลรวมย่อย $S_k = 3(1 - 1/(k+1))$ เมื่อ $k \to \infty$ ลิมิตนี้คือ 3
2. ส่วนเรขาคณิต: $\sum_{n=1}^\infty (1/2)^n$ เป็นลำดับเรขาคณิตที่มี $a=1/2$ และ $r=1/2$ ผลรวม $= (1/2)/(1-1/2) = 1$
ผลรวมรวม = 3 + 1 = 4

ภารกิจที่ 2

เซตแคนตอร์สร้างจากการเอาช่วงกลางหนึ่งในสามออกจากช่วงซ้ำ ๆ แสดงว่าความยาวรวมของช่วงทั้งหมดที่ถูกลบออกไปคือ 1

วิธีแก้:
- ขั้นตอนที่ 1 ลบช่วงหนึ่งความยาว 1/3
- ขั้นตอนที่ 2 ลบช่วง 2 ช่วง ความยาว 1/9
- ขั้นตอนที่ $n$ ลบช่วง $2^{n-1}$ ช่วง ความยาว $(1/3)^n$
ความยาวรวมที่ลบออกไป $= \sum_{n=1}^\infty \frac{2^{n-1}}{3^n} = \frac{1}{3} \sum_{n=1}^\infty (\frac{2}{3})^{n-1}$
นี่คือลำดับเรขาคณิตที่มี $a=1/3$ และ $r=2/3$ ผลรวม $= (1/3) / (1 - 2/3) = (1/3)/(1/3) = 1$

ภารกิจที่ 3

อธิบายว่าทำไม $1.6 - 0.8(x-1) + 0.4(x-1)^2 \dots$ จึงไม่สามารถเป็นอนุกรมเทย์เลอร์ของฟังก์ชัน $f$ ที่มีศูนย์กลางที่ 1 ได้ หาก $f$ ผ่านจุด (1, 2) และ (2, 2.8)

วิธีแก้: ในอนุกรมเทย์เลอร์ที่มีศูนย์กลางที่ $a=1$ พจน์แรกคือ $f(1)$ ที่นี่ พจน์แรกคือ 1.6 แต่เราทราบว่า $f(1)=2$ เนื่องจาก $1.6 \neq 2$ จึงไม่สามารถเป็นอนุกรมเทย์เลอร์ของ $f$ ได้